차원해석과 상사율

상사율. 우리는 이상유체나 점성유체에 대하여 이론적 해를 위주로 물리적 또는 수학적인 방법으로 방정식을 유도하였다. 그러나 이러한 방정식들은 어느 한께를 벗어나면 적용이 불가능한 때가 많다. 예를 들어 경계층의 경우, 층류나 난류는 그 주어진 조건하에서 각각의 속도분포, 전단응력, 마찰계수 계산식들이 성립하지만, 조건이 바뀌면 성립하지 않는 경우가 많다.원형 실린더 뒤에 형성되는 후류의 경우, 유속의 변화에 따라 동일한 조건하에서 일정한 현상을 볼 수 가 없으며, 특히 난류의 경우는 더욱더 그 유동형태의 일관성을 찾아 볼 수 없기 때문에, 이들의 해석은 가정한 방정식에 실험값을 대입하여 보다 정확한 해석에 근접해 가는 것이다. 그러나 이러한 실험값들의 정확성도 완전한 기준에 맞추기가 어려우며, 보다 더 정확한 값을 얻기 위해서는 수없이 반복된 실험을 거쳐야 한다.또 여러가지 실험조건과 인자수(parameters)에 따라 실험횟수는 늘어나게 된다. 예를 들어, 관 내의 유체유동 분포를 고찰하기 위하여 먼저 관의 지름을 결정해야하고 다음에 유속을 정해야 한다. 그렇지 않은 일반적인 경우에 관 내의 속도를 측정, 도시할 때, 관의 지름을 N번 변화시키고, 유속을 M번 변화시켰을 경우 한 위치에서만 N x M개의 속도선도를 측정해야한다. 만약 S번 위치를 변화시켰을 대는 N X M X S번의 실험을 해야 한다. 이런 경우 그 많은 속도선도 중 어느 것을 선정하여 관 내의 유체유동의 속도분포선도라고 정하기가 어렵다. 그리하여 이와 비슷한 모든 경우의 각 인자들에 대한 기준값을 정하고, 각 측정값들을 같은 인자의 기준값으로 나누어 그 비로 나타냄으로써 무차원화하여 모든 조건에서 동일한 무차원의 값을 갖도록 하는 것을 상사율(similarity)이라고 한다. 위에서 예를 든 속도선도의 경우, 여기에 수반되는 물리적인 성질, 즉 점도에 의한 마찰력이나 항력, 전단력, 응력 등 역학적인 제반 문제가 상호 상사성을 가지고 있을 때 역학전 또는 물리적인 상사율(mechanical or physical similarity)이라고 한다.

또 기계제작이나 건축에 있어서 실물을 제작하거나 건축하기 전에 기하학적으로 실물과 완전히 상사되는 모형(model)을 만드는데, 각 해당 부분들의 비가 일정한 모형을 제작하였을 때, 이는 서로 기하학적 상사율(geometrical similarity)을 갖게 된다. 그러나 이러한 기하학적 상사관계에 있다 해도, 모형과 실물 사이에 역학적 해석이 기타 물리적인 관계가 서로 상사적인 관계가 성립될 때, 동력을 발생하는 기체는 모형과 실물 사이에 완전한 상사율의 관계가 있다고 볼 수 있다. 발전소의 터빈을 설계 또는 제작하기 전에 모든 기하학적 상사조건을 갖춘 모형을 만들어 그 터빈의 성능실험을 하게 된다. 그리하여 모형실험에서 그 표율을 계산하여 기계의 결함을 보완하고 원하는 효율을 얻을 수 있을 때, 비로소 그 모형과 기하학적으로 완전히 상사가 되는 실물을 만들게 된다. 따라서 이런 경우 효율을 측정하는 제반문제들은 역학적인 상사문제이며, 크기를 확대하여 실물을 제작하는 것은 모형과 기하학적인 상사관계의 문제인 것이다. 

차원해석. 모든 물리량들은 질량, 길이, 시간과 같은 기본인자들로써 나타내며, 물리적인 현상을 나타내는 방정식 양변의 차원은 동일하여야 한다. 이러한 물리적인 현상을 나타내는 방정식의 해를 차원에 의하여 해석하는 방법을 차원해석(dimensional analysis)이라고 한다. 물리적 현상을 차원에 의해 해석하는 방법은 결국 차원의 동질성(the principle of dimensional homogeneity)의 원리에 의한 것이다. 물리적으로 완전한 방정식에서 각 항들은 모두 동일한 차원을 갖게된다. 그러므로 모든 인자들이 명확하게 나타나 있을 때 비로소 방정식은 완전하게 성립하게 된다. 

Buckingham pi정리의 응용. Buckingham의 pi정리를 응용하여 유체의 물리적이 현상을 함수 관계식으로 유도하기 위하여, 유체 유동에 영향을 미치는 모든 매개변수들을 찾아낼 수 있는 사전지식이 필요하다. 만약 매개변수들이 정확하게 선정이 되었다면, 이들의 관계식에 의한 실험결과는 만족할 만한 좋은 결과를 얻게 될 것이다. 무차원의 pi군을 결정하는 데는 다음과 같은 6단계의 절차가 필요하다. 관련된 모든 변수를 나열한다. 여기서 변수의 수를 n이라 한다. 만약 선정되어야 할 변수가 제외되었을 경우에도 관계식은 유도될 수 있으나 완전한 식이 되지 못한다. 또 물리적인 현상에 실질적으로 무관한 변수가 포함되어 있다면, 차원해석 방법으로 구한 관계식이 성립되지 않거나, 실험적으로 무관한 변수로 판명되는 한개 또는 그 이상의 무차원군을 얻게 될 것이다. MLT또는 FLT의 기본차원의 하나를 선정한다. MLT또는 FLT기본차원으로서 모든 변수를 차원으로 나열한다. 여기서 기본차원의 수를 m이라고 한다.차원으로 표기된 변수들로부터 기본차원의 수(m)와 동일한 반복변수(repeating parameter)의 수를 결정한다. 선정된 반복변수는 무차원군에서 구한 모든 것에 포함되어 잇어야 한다. 나아가서 종속변수는 이 넷째 단계에서 선정된 반복변수에 포함시켜서는 안 된다. 넷째 단계에서 선정된 반복변수들과 나머지 다른 변수들과 교대로 조합하여 무차원군을 형성하기 위한 차원 방정식을 세운다. 여기서 (n-m)개의 방정식이 만들어지며, (n-m)개의 무차원군을 구하기 위하여 차원 방정식을 푼다.차원 방정식을 통해 구한 각 군의 무차원 여부를 점검한다. 예를 들어 MLT계로 해석하였다면 FLT계로 점검하는 것이 좋다. 양계에서 LT는 동일하고, M,F만 상이하므로 처음에 질량 M으로 해석하였다면 점검할 때에는 힘F로 바꾸어 해석하여 무차원군의 성립여부를 점검하여야 한다.