비점성 유체의 유동 bernoulli의 방정식

유체가 운동상태에 있을 때 이를 역학적으로, 특히 뉴턴의 운동의 제2법칙에 의하여 해석해 나가게 될 것이다. 우리는 이것을 유체 동역학이라고 한다. 앞에서 언급한 대로 유체에는 압축성 유체와 비압축성 유체, 점성유체와 비점성 유체 등으로 구분되나, 이 장에서는 비압축성 그리고 비점성 유체의 유동에 대하여 다루게 될 것이다.

유체의 유동은 시간과 위치, 그리고 방향에 따라 변하므로 유동을 다음과 같이 구분하고 있다.

시간과 위치에 따른 유동구분

정상균일운동

유속이나 유량이 시간에 관계없이 일정한 유동을 말하며, 단면적이 일정한 직관내의 유체유동이 그 예이다. 즉, 시간이 t일 때,  s위치에서 어느일정방향의 유속이  u라면, 시간이 경과하여 t+delt로 되고, 위치가 s+ds로 변위되어도 유속은 u로서 일정한 경우이다.

비정상 균일운동

이는 유속이 시간에 따라 변화하는 유동으로서, 단면적이 일정한 직관에서 가속도나 감속도가 발생할 때 관 내의 유동위치에는 관게없이 동시에 가속 및 감속이 되는 유동의 경우이다.

정상불균일 유동

관 내의 유동을 고려할 때, 임의의 각 위치에서의 유속은 시간에는 관계없이 일정하나, 위치에 따라 변화하는 유동을 말하며, 이는 단면적이 일정하지 않은 관 내의 유체 유동에서 볼 수 있다. 균일유동은 일정한 방향으로 위치가 변하여도 그 방향의 유속이 동일함을 말하며, 균일부포 유동은 어느 한 위치에서 전단면의 유속이 동일함을 의미한다. 여기서 후자의 경우에 관 벽면 가까운 곳에 존재하는 경계층의 유동영역은 고려하지 않는 경우이다.

이상의 위에서 기술한 유체의 유동은 유선들의 묶음이다. 이와 같이 이웃하는 유선들의 묶을은 유관이라고 한다. 또 유관의 단면적이 극히 작아서 그 내부에 존재하는 유선들의 속도차이가 무시할 수 있을 정도로 작을 때 이것을 유사라고 하며, 또 유체의 한 입자가 유동해 가는 경로를 유직선이라고 한다.

방향에 따른 유동구분

유속을 정상유도으로 간주하고 유동의 위치s 를 x,y,z의 3방향으로 생각하면 u=f(x,y,z)로 쓸 수 있다. 유동형태에 따라 분류해 보면 다음과 같다.

1차원 유동

이는 유동을 한 방향과 시간의 함수로만 취급하는 유동을 말한다. 따라서 x방향으로만의 유동이나 속도 기울기가 존재하고, y나 z방향에 대해서는 유동이 없음을 뜻한다. 관 내의 유동을 일반적으로 공학에서1차원 유동으로 간주하여 균일분포 유동으로 취급하지만, 실제적으로는 점성의 영향으로 유동분포는 그림과 같이 된다.

2차원 유동

이는 유동이 두 방향으로 변화하는 경우를 말한다. 대부분의 경우에는 유체유동은 2차원 유동에 속한다.평판상에ㅐ서의 유동도 경계층에서는 2차원 유동의 속도분포로 나타나다가, 높이가 무한히 커질 대 1차원 유동 속도 분포를 나타낸다.

3차원 유동

3차원 유동은 3방향으로 속도가 발생하는 회전 또는 선회유동에서 볼 수 있다.

유체입자의 가속

유체의 속도는 시간과 위치의 함수이다. 유체의 한 입자가 시간dt동안에 거리를 ds만큼 이동해 갔다면 발생하는 입자의 가속도는 거리와 시간에 대하여 미분함으로써 얻을 수 있다.

이상 간단하게 논한 유체입자의 유동방향의 위치를 s로 표시하였으나, 이는 1차원 유동이 아닌 경우 하나의 속도장을 나타내는 것이다.

그러므로 유속을 속도벡터v 위치를 공간위치 s로 표시하면V=f(s,t)=f(x,y,z,t)이다.

이식을 미분하고 정리하여 표기한다.유체입자가 어느곡로로 운동하게 될 때 가속도는 곡률중심을 중심으로하여 발생하게 된다. 지름이 D인 평행한 두 원판이 속도 U로 상호접근하고 있다. 두 판 사이의 거리가 h일 때 원판의 끝부분A에서 발생하는 a대류 가속도와 b순간가속도를 U,h,D로 나타내라. 단, A부분에 유출되는 유속은 균일분포 유동으로 가정한다.

유동함수라 함은 두 유선 사이에 유동하는 체적유량을 말한다.

물리적으로 보아 유동함수는 유체 내의 유선 사이에 운동하고 있는 단위폭당 유동하는 유체의 체적유량이므로, 3차원 유동의 경우 각 평면에 대한 유동함수는 다음과 같이 계산할 수 있다.

연속 방정식

유체유동에서 단면적이 균일한 관이나 불균일한 관 내의 유량은 질량보존의 법칙에 의하여 동일한 시간에 어느 단면에서나 같다. 즉 어느 위치에서나 유입질량과 유출질량이 같으므로, 일정한 과 내에 축적된 질량은 유속에 관계없이 일정하다.

이것을 연속의 원리라고 한다. 

1차원 유동에서의 연속 방정식

단면이 일정하지 않은 관 내의 유체유동에서 점1,2 사이의 유체의 축적량을 보면, 유입질량과 유출질량은 동일하고, 또 유입질량에서 유출질량을 뺀 값이 단면 1,2 사이에 축적된 질량이다.

이는 질량보존의 법칙에 의하여 m1=m2이므로 단위시간에 흘러간 질량은 다음과 같다.

1차원 유동에서의 연속 방정식이라고 한다.

베르누이의 방정식

임의의 유관 내를 유동하는 유체의 전에너지에 대하여 생각해보자. 기준면에서부터 유동중심까지의 높이가 z1인 단면과 z2인 단면에서 그 사이에 유동하는 유체의 전에너지는 손실이 없다고 가정했을 대, 단면의 전에너지와 단면의 전에너지는 동일하여야 한다.

단면 A1및 A2에 작용하는 전에너지는 운동에너지, 위치에너지, 압력에너지의 합이다. 스위스의 수학자 daniel bernoulli가 1738년에 그의 저서에 처음으로 발표함으로써 널리 알려지게 되었다.

bernouilli방정식은 유체의 유동 중에 생기는 마찰 손실을 고려하지 않은 에너지 보존이론에 의하여 유도된 식이다. 그러나 실제적으로 유동 중에는 점섬의 영향에 의한 전다력과 고체면과의 마찰력의 발생에 의한 손실, 유체입자들간의 충돌에 의한 에너지 손실, 관의 곡률과 조도 등 많은 요인들에 의하여 압력 손실 등이 발생하므로, 이를 고려하지 않으면 안 된다. 이를 통틀어 전에너지 손실수두라하면이는 h로 표기하면 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.